Умножение на пальцах

Каждый вспомнит, как трудно заучивать наизусть таблицу умножения. Между тем эту работу можно существенно облегчить, если воспользоваться одним старым способом вычисления на пальцах. Вот как описывает его Магницкий на примере вычисления умножения семь на семь: Загнем на левой руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5. В рассмотренном примере на каждой из рук будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых, то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения (в данном примере 4 десятка и 9 единиц). Если этим способом вычислять произведения 6X7, то получим 3 десятка и 12 единиц, то есть 30+12=42. Так можно вычислить произведения любых однозначных чисел, больших, чем 5. Найдите объяснение этого способа умножения чисел.

Движение пальца.

А вот еще один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: Первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4... до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4X9. Положив обе руки на стол, приподнимаем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца, а после поднятого — 6 пальцев. Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36. Найдите объяснение этого способа умножения чисел.

Свойства числа 481.

Возьмем какое-нибудь двузначное число, например, 12. Удвоим его и припишем справа 0. К результату (240) прибавим исходное число. Получится 252. Умножим это число на 481. В записи произведения трижды повторяется число 12: 252X481=121212. Возьмем другое двузначное число, например, 23. Проделаем с ним те же операции: 23X2=46; 460+23=483; 483X481= = 232 323. Опять результат есть шестизначное число, в записи которого трижды повторяется исходное двузначное число 23.

Можете проделать еще несколько экспериментов, взяв, например, числа 34, 19, 70 и т. д. Опять в записи результата будет трижды повторено исходное двузначное число. Попытайтесь объяснить этот удивительный факт.

«Проверка» сложения.

Торговая практика требовала умения правильно выполнять вычисления с большими числами. Для уверенности в надежности вычислений в старину употреблялись некоторые методы «поверения» (проверки). Один из методов проверки правильности сложения был таков. Допустим, что, найдя сумму нескольких чисел, мы хотим убедиться в правильности сделанных вычислений. Прибавим друг к другу все цифры слагаемых и получившееся число разделим с остатком на 9. Остаток запомним. После этого сложим цифры вычисленной суммы и результат разделим на 9. Если получившийся при этом остаток отличен от остатка, найденного ранее, то вычисления выполнены неверно, в них вкралась ошибка.

Пример. Предположим, что в результате сложения чисел 9837, 9873, 17 976 была получена сумма 38 686. Нет ли ошибки в вычислении? Сумма цифр слагаемых равна, как легко видеть, 27+27+30=84. Остаток от деления этого числа на 9 равен 3. Складывая цифры вычисленной суммы, найдем 31. Это число при делении на 9 дает в остатке 4. Так как 3^4, то сумма найдена с ошибкой. И действительно, правильная сумма равна 37 686. На каком свойстве чисел основан такой способ проверки сложения?

«Проверка» умножения.

Так же, как в предыдущей задаче проверялось сложение, можно проверять и умножение. Допустим, что, перемножив два числа, мы хотим проверить правильность вычислений. Для этого найдем суммы цифр сомножителей, затем разделим полученные суммы на 9 с остатком. Найденные остатки перемножим, и получившееся число опять разделим на 9. Остаток после этого деления запомним. Затем найдем сумму цифр вычисленного произведения и разделим ее с остатком на 9. Если получившийся при этом остаток не равен остатку, запомненному ранее, то произведение вычислено неверно.

Пример. Допустим, что после умножения числа 7373 на 4521 получилось произведение 33 334 333. Сумма цифр первого сомножителя равно 20, а второго — 12. Эти числа при делении на 9 имеют остатки 2 и 3. Произведение остатков равно 6, остаток от деления 6 на 9 также равен 6. Вычислим теперь сумму цифр найденного произведения. Она равна 25. Разделив это число на 9, получим в остатке 7. Так как 6^7, то произведение вычислено с ошибкой. Авторы старинных рукописей предлагают для удобства располагать результаты вычислений в вершинах креста. У концов вертикальной черты ставятся остатки от деления на 9 сумм сомножителей. У левого конца горизонтальной черты ставится остаток от деления на 9 произведения чисел, стоящих у концов вертикальной черты, а у правого конца горизонтальной черты — остаток от деления на 9 суммы цифр вычисленного произведения. Если у горизонтальной черты стоят разные числа, то произведение найдено с ошибкой. Как обосновать этот способ проверки умножения?